Question

設(shè)p≠0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z²-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z₁，z₂、再設(shè)z₁，z₂在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)是Z₁，Z₂，求以Z₁，Z₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長軸的長．

Answer 1

分析：由題意兩個(gè)虛數(shù)根z₁，z₂是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長：2b=|z₁+z₂|=2|p|，焦距為2c=|z₁-z₂|，然后求出長軸長．

解答：解：因?yàn)閜，q為實(shí)數(shù)，p≠0，z₁，z₂為虛數(shù)，
所以（-2p）²-4q＜0，q＞p²＞0
由z₁，z₂為共軛復(fù)數(shù)，知Z₁，Z₂關(guān)于x軸對稱，
所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，
可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
可得橢圓的短軸長=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距離=2c=|z₁-z₂|=

|(z1+z2)2-4z1z2|

=2

q-p2

，
長軸長=2a=2

b2+c2

=2

q

.

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，橢圓的基本性質(zhì)，是小型綜合題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．