Question

（理科做） 用數學歸納法證明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

．

Answer 1

分析：用數學歸納法進行證明，先證明當n=1時，等式成立．再假設當n=k時等式成立，進而證明當n=k+1時，等式也成立；

解答：證明：（1）當n=1時，左=

1

3

=右，等式成立．
（2）假設當n=k時等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

，
當n=k+1時，左邊=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

．
∴當n=k+1時，等式也成立．
綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．