Question

（理科做）設f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，用數學歸納法證明：當n≥2，n∈N^*時，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

Answer 1

分析：分析：首先題目要求應用數學歸納法證明不等式，數學歸納法的一般步驟是，第一步驗證第一項是否成立，第二步假設n=k時候結論成立，去驗證n=k+1時候結論是否成立．若都成立即得證．

解答：解：1⁰、當n=2時，等式左邊=2+f（1）=2+1=3
等式右邊=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，∴原式成立；…（4分）
2⁰、假設n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）
∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，∴f(n+1)=f(n)+

1

n+1

（這步可置于后）…（8分）
則當n=k+1時，
等式左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）
=(k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+

1

k+1

]=(k+1)f(k+1)
即當n=k+1時，等式也成立．…（12分）
綜上1⁰，2⁰可得當n≥2，n∈N^*時，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立
…（14分）

點評：點評：此題主要考查數列的遞推公式和利用數學歸納法進行證明，歸納法是高考中常考的方法，幾乎每年都考，對此學生要引起注意，多加練習．