Question

某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號（1~50號），并以不同的方法進行數據抽樣，其中一人用的是系統抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優秀，小于80分視為不優秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數據：

編號	性別	投籃成績
2	男	90
7	女	60
12	男	75
17	男	80
22	女	83
27	男	85
32	女	75
37	男	80
42	女	70
47	女	60

甲抽取的樣本數據

編號	性別	投籃成績
1	男	95
8	男	85
10	男	85
20	男	70
23	男	70
28	男	80
33	女	60
35	女	65
43	女	70
48	女	60

乙抽取的樣本數據

（Ⅰ）觀察乙抽取的樣本數據，若從男同學中抽取兩名，求兩名男同學中恰有一名非優秀的概率．

（Ⅱ）請你根據乙抽取的樣本數據完成下列2×2列聯表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關？

	優秀	非優秀	合計
男
女
合計			10

（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優？說明理由.

下面的臨界值表供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（參考公式：，其中）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=．

（Ⅱ）有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關．

（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣． 采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先明確“事件”記“兩名同學中恰有一名不優秀”為事件A，乙抽取的樣本數據中，男同學有4名優秀，記為a，b，c，d，2名不優秀，記為e，f . 計算從男同學中抽取兩名，總的基本事件有15個，利用列舉法確定事件A包含的基本事件數為8，進一步得到=． （Ⅱ）設投籃成績與性別無關，由乙抽取的樣本數據，得列聯表，利用“卡方公式”，計算的觀測值并與臨界值表比較，得到結論.（Ⅲ）對照系統抽樣、分層抽樣的定義．確定抽樣方法，由（Ⅱ）的結論，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，得到結論.

試題解析：（Ⅰ）記“兩名同學中恰有一名不優秀”為事件A，乙抽取的樣本數據中，男同學有4名優秀，記為a，b，c，d，2名不優秀，記為e，f .     1分

乙抽取的樣本數據，若從男同學中抽取兩名，則總的基本事件有15個，   2分

事件A包含的基本事件有，，，， ，，，，共8個基本事件，所以  =．       4分

（Ⅱ）設投籃成績與性別無關，由乙抽取的樣本數據，得列聯表如下：

	優秀	非優秀	合計
男	4	2	6
女	0	4	4
合計	4	6	10

         6分

的觀測值4.4443.841，        8分

所以有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關．       9分

（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣．  10分

由（Ⅱ）的結論知，投籃成績與性別有關，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優． 12分

考點：1、古典概型概率的計算，2、抽樣方法，3、“卡方公式”的應用.