Question

如圖為河岸一段的示意圖．一游泳者站在河岸的A點處，欲前往對岸的C點處，若河寬BC為100m，A、B相距100m，他希望盡快到達C，準備從A步行到E（E為河岸AB上的點），再從E游到C．已知此人步行速度為v，游泳速度為0.5v．
（1）設∠BEC=θ，試將此人按上述路線從A到C所需時間T表示為θ的函數，并求自變量θ的取值范圍；
（2）當θ為何值時，此人從A經E游到C所需時間T最小，其最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）分別求出從A步行道E所用、從E游到C的路程，即可得到從A到C所需時間T表示為θ的函數，利用E位于A處時，θ取最小值

π

4

，E位于B處時，θ取最大值

π

2

，可得自變量θ的取值范圍；
（2）求導函數，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

，確定函數的單調性，即可得到θ=

π

3

時，T取得極小值，也是最小值．

解答：解：（1）由題意，從A步行道E所用時間為

AE

v

，AE=AB-BE=100（1-

cosθ

sinθ

）
從E游到C，所用時間為

EC

0.5v

，EC=

BC

sinθ

=

100

sinθ

∴T=

100

v

(1+

2

sin

-

cosθ

sinθ

)
∵E位于A處時，θ取最小值

π

4

，E位于B處時，θ取最大值

π

2

∴自變量θ的取值范圍為[

π

4

，

π

2

]；
（2）求導函數，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

∴θ∈[

π

4

，

π

3

)時，cosθ＞

1

2

，T′＜0；θ∈(

π

3

，

π

2

]時，cosθ＜

1

2

，T′＞0
∴θ=

π

3

時，T取得極小值，也是最小值為

100(1+ 3 )

v

．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用導數解決實際問題，建模是關鍵．