Question

為建設好長、株、潭“兩型社會”改革實驗區，加快二市經濟一體化進程，某規劃部門在三市的交界處擬建一個大型環保生態公園，并在公園入口處的東南方位建造一個供市民休閑健身的小型綠化廣場，如圖是步行小道設計方案示意圖，其中，Ox，Oy分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道，設計方案是自主干道交匯點O處修一條步行小道，小道為拋物線y=x²的一段，在小道上依次以點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P(xn，yn)(n≥10，n∈N*)為圓心，修一系列圓型小道，且這些圓型小道與主干道Ox分別于相切于A₁，A₂，…，A_n，…，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若x₁=1（單位：百米），且x_n+1＜x_n．
（1）記⊙P₁，⊙P₂，…，⊙P_n，…的半徑r_n組成的數列為{r_n}，求通項公式r_n；
（2）若修建這些圓形小道工程預算總費用為50萬元，根據以往施工經驗可知，面積為S的圓形小道的實際施工費用為10

πS

萬元，試問修建好前n（n≥10，n∈N^*）個圓型小道，預算費用是否夠用，請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設⊙P_n的半徑rn=yn=

x

2 n

，面積為S_n，根據兩圓相切，圓心距等于兩圓半徑和，可得{

1

xn

}的首項為l，公差為2的等差數列，進而求出數列{a_n}和{r_n}的通項公式，
（2）根據（1）中結論，利用裂項相消法可以求出前n個圓型小道的施工總費用時為T_n，比較后可得結論．

解答：解：（1）依題設⊙P_n的半徑rn=yn=

x

2 n

，面積為S_n
∵⊙P_n與⊙P_n+1彼此相切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1
∴

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1，
兩邊平方，并整理得(xn-xn+1)2=4

x

2 n

x

2 n+1

又x_n＞x_n+1＞0，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴{

1

xn

}的首項為l，公差為2的等差數列，
∴

1

xn

=1+(n-1)•2=2n-1
∴xn=

1

2n-1

，
∴rn=

1

(2n-1)2

(n∈N*)
（2）設前n個圓型小道的施工總費用時為T_n
∵Sn=π

r

2 n

=π

x

4 n

=

π

(2n-1)4

∴Tn=10(

πs1

+

πs2

+…+

πsn

)=10π(

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

)≤10π(1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

)=10π[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)]=10π(

3

2

-

1

4n-2

)＜15π＜50
故修建這些圓形小道工程預算費用夠用．

點評：本題考查的知識點求數列的通項公式，數列求和，是數列問題的綜合應用，熟練掌握求數列通項和數列求和的方法是解答的關鍵．