Question

為建設(shè)好長(zhǎng)、株、潭“兩型社會(huì)”改革實(shí)驗(yàn)區(qū)，加快二市經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程，某規(guī)劃部門(mén)在三市的交界處擬建一個(gè)大型環(huán)保生態(tài)公園，并在公園入口處的東南方位建造一個(gè)供市民休閑健身的小型綠化廣場(chǎng)，如圖是步行小道設(shè)計(jì)方案示意圖，其中，Ox，Oy分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道，設(shè)計(jì)方案是自主干道交匯點(diǎn)O處修一條步行小道，小道為拋物線y=x²的一段，在小道上依次以點(diǎn)為圓心，修一系列圓型小道，且這些圓型小道與主干道Ox分別于相切于A₁，A₂，…，A_n，…，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若x₁=1（單位：百米），且x_n+1＜x_n．
（1）記⊙P₁，⊙P₂，…，⊙P_n，…的半徑r_n組成的數(shù)列為{r_n}，求通項(xiàng)公式r_n；
（2）若修建這些圓形小道工程預(yù)算總費(fèi)用為50萬(wàn)元，根據(jù)以往施工經(jīng)驗(yàn)可知，面積為S的圓形小道的實(shí)際施工費(fèi)用為萬(wàn)元，試問(wèn)修建好前n（n≥10，n∈N^*）個(gè)圓型小道，預(yù)算費(fèi)用是否夠用，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

解：（1）依題設(shè)⊙P_n的半徑，面積為S_n
∵⊙P_n與⊙P_n+1彼此相切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1
∴，
兩邊平方，并整理得
又x_n＞x_n+1＞0，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴
∴的首項(xiàng)為l，公差為2的等差數(shù)列，
∴
∴，
∴
（2）設(shè)前n個(gè)圓型小道的施工總費(fèi)用時(shí)為T(mén)_n
∵
∴=
故修建這些圓形小道工程預(yù)算費(fèi)用夠用．
分析：（1）設(shè)⊙P_n的半徑，面積為S_n，根據(jù)兩圓相切，圓心距等于兩圓半徑和，可得的首項(xiàng)為l，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}和{r_n}的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法可以求出前n個(gè)圓型小道的施工總費(fèi)用時(shí)為T(mén)_n，比較后可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，是數(shù)列問(wèn)題的綜合應(yīng)用，熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和的方法是解答的關(guān)鍵．