Question

已知函數f（x）=ax³+bx²，當x=1時，函數有極大值3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意可得，f′（1）=0，f（1）=3，從而得到方程組，解出即可；
（2）解方程f′（x）=0，然后判斷導數在方程根的左右兩側的符號可判斷極值點，進而可求極小值；

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx，
當x=1時，f′（1）=3a+2b=0，f（1）=3，
∴

3a+2b=0 a+b=3

，解得a=-6，b=9，
∴函數解析式為：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知f（x）=-6x³+9x²，
f′（x）=-18x²+18x，令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜0，
∴當x=0時函數取得極小值為0．

點評：該題考查利用導數研究函數的極值．求解函數解析式，屬中檔題．