Question

【題目】設函數是定義在上的偶函數，且對任意的恒有，已知當時，則①函數的周期是；②在上是增函數，在上是減函數；③的最大值是，最小值是；④當時， ，其中所有真命題的序號是__________．

Answer 1

【答案】①④

【解析】①因為f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函數是周期函數，周期為2，所以①正確．

②當x∈[0，1）時f（x）=log0.5（1-x），此時函數單調遞增．因為函數為偶函數，所以函數在（-1，0）上單調遞減，所以f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數，所以②錯誤．
③由②知函數在x=0處取得最小值，在x=1處取得最大值，因為f（0=log0.5（1-0）=0，所以最小值為0．因為函數的最大值為f（1），但f（1）沒有具體的數值，所以③錯誤．
④若3＜x＜4，則-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log0.5[1-（4-x）]=log0.5（x-3），所以④正確．
故答案為：①④．