Question

【題目】設函數．

（1）當時，求的極值；

（2）當時，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當，取得極小值；當時，取得極大值；（2）見解析．

【解析】【試題分析】(1)當時,利用導數寫出函數的單調區間,進而求得函數的極值.(2)當時,化簡原不等式得,分別利用導數求得左邊對應函數的最小值,和右邊對應函數的最大值, 最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.

【試題解析】

（1）當時，，

，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減．

所以，當，取得極小值；

當時，取得極大值．

（2）證明：當時，，，

所以不等式可變為．

要證明上述不等式成立，即證明．

設，則，

令，得，

在上，，是減函數；

在上，，是增函數．

所以．

令，則，

在上，，是增函數；在上，，是減函數，

所以，

所以，即，即，

由此可知．