Question

已知數列{a_n}滿足(n+1)a_n-na_n+1=2   (n∈N*)，a₁=3．

(Ⅰ)求a₂、a₃；

(Ⅱ)求{a_n}的通項；

(Ⅲ)求和：(a₁+a₂)+(a₂+a₃)+…+(a_n+a_n+1)．

Answer 1

解：(Ⅰ)在(n+1)a_n-na_n+1=2中，

令n=1，得2a₁-a₂=2，∴a₂=2a₁-2=4

再令n=2，得3a₂-2a₃=2，得a₃=a₂-1=5

∴a₂=4，a₃=5

 (Ⅱ)由(n+1)a_n-na_n+1=2,得

∴

當n≥2時，

∴a_n=n+2

n=1時，a₁=3也適合，∴a_n=n+2(n∈N^*)

(Ⅲ)∵a_n+a_n+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

∴(a₁+a₂)+(a₂+a₃)+…+(a_n+a_n+1)=

=n²+6n