Question

如圖，F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知△AF₁B的面積為40

3

，求a，b的值．

Answer 1

（Ⅰ）∠F₁AF₂=60°?a=2c?e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）設|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m，
在三角形BF₁F₂中，|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
?（2a-m）²=m²+a²+am．?m=

3

5

a．
△AF₁B面積S=

1

2

|BA||F₁A|sin60°
?

1

2

×a×(a+

3

5

a)×

3

2

=40

3

?a=10，
∴c=5，b=5

3

．