Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，E是棱上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若E是棱的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）是否存在點(diǎn)E，使得，若存在，求出E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在，理由詳見解析．

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，證明，再利用線面平行判定定理，即可證得結(jié)論；

（2）先證明兩兩垂直，再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量為，再利用向量的夾角公式，即可得答案；

（3）設(shè)，由，解得與假設(shè)矛盾，從而得到結(jié)論.

（1）證明：取中點(diǎn)為，連結(jié)，

在中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以且．

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，，

所以且，

所以為平行四邊形

所以．

又因?yàn)?/span>平面， ．

平面，

所以平面．

（2）連結(jié)，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，是的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以兩兩垂直．

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，

即，

令，則，，

所以．

平面ABC的法向量為，

．

又因?yàn)槎�面�?/span>為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．

（3），，

設(shè)，

則，

所以，，

所以，

假設(shè)，

則，解得，

這與已知矛盾．不存在點(diǎn)E.