Question

【題目】如表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表，用aij表示第i行第j個數(shù)（i，j∈N），已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列，每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．

（1）求an1和a4n；
（2）設(shè)bn= +（﹣1）na （n∈N+），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)第1列依次組成的等差公差為d，

設(shè)第1行依次組成的等比數(shù)列的公比為q，

根據(jù)題意a31+a61=（1+2d）+（1+5d）=9，

∴d=1，

∴an1=a11+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，

∵a31=a11+2d=3，

∴a35=a31q4=3q4=48，

∵q＞0，

∴q=2，

∵a41=4，

∴a4n=a41qn﹣1=4×2n﹣1=2n+1

（2）解：由bn= +（﹣1）na （n∈N+）

= +（﹣1）nn

= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，

前n項和Sn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ +[﹣1+2﹣3+4﹣5+（﹣1）nn]，

當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=1﹣ + ；

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=Sn﹣1+bn=1﹣ + + ﹣ ﹣n

=1﹣ ﹣ = ﹣

【解析】（1）設(shè)第1列依次組成的等差公差為d，設(shè)第1行依次組成的等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意可以求出d和q，再根據(jù)通項公式的定義即可求出；（2）求出bn= +（﹣1）na （n∈N+）= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，根據(jù)裂項相消法和分組，討論即可求出前n項和．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．