Question

（文科做）（本題滿分14分）如圖，在長方體
ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.
（1）證明：D₁E⊥A₁D;
（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D₁—EC－D的大小為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（理科做）(本題滿分14分)
如圖，在直三棱柱ABC – A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°，CB = 1，
CA =，AA₁ =，M為側棱CC₁上一點，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；
（Ⅲ）求點C到平面ABM的距離．

Answer 1

、（文）解法一（1）∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D．
（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，故
（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.設AE=x，則BE=2－x，

 （3）設平面D₁EC的法向量，
由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，∴依題意∴（不合，舍去），
∴AE=時，二面角D₁—EC—D的大小為. 
 （Ⅲ）設點C到平面ABM的距離為h，易知BO =，可知S_△ABM =· AM · BO =×   ∵V_{C – ABM} = V_{M – ABC}  ∴hS_△ABM =MC ·S_△ABC  
∴h =  ∴點C到平面ABM的距離為解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如圖以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線  
分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A (，0，0)，A₁(，0，)，B (0，1，0)，
設M (0，0，z₁)     ∵AM⊥BA₁．
∴，即– 3 + 0 +z₁ = 0，故z₁ =，所以M (0，0，)    
設向量m = (x，y，z)為平面AMB的法向量，則m⊥，m⊥，則
即，令x = 1，平面AMB的一個法向量為m = (1，，)，顯然向量是平面AMC的一個法向量
cos < m，，易知，m與所夾的角等于二面角B—AM—C的大小，故所求二面角的大小為45°．（Ⅲ）所求距離為：，  即點C到平面ABM的距離為

略