Question

設函數f(x)=x³-(3a-1)x²+[2a²-f′(2a)]x+(a²+2a-3).

(1)用a表示f′(2a)；

(2)若f(x)的圖像上有兩條與y軸垂直的切線，求實數a的取值范圍；

(3)當a=2時，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：(1)因為f′(x)=x²-(3a-1)x+2a²-f′(2a)

則f′(20)=4a²-6a²+2a+2a²-f′(2a)，

得f′(20)=a

(2)由(1)得f′(x)=x²-(3a-1)x+2a²-a，由題可知方程x²-(3a-1)x+2a²-a=0有兩個不相等的實數根，

∴△=(3a-1)²-4(2a²-a)=(a-1)²＞0a≠1

(3)因為a=2，則f(x)++6x+5，

f′(x)=(x-2)(x-3)，

設f′(x)=0，解得x₁=2,x₂=3

x	0	(0,2)	2	(2,3)	3
f′(x)		+	0	-
f(x)	5	↑	極大值	↓

由上表可知，f(x)在[0，3]上最大值為f(2)=，最小值f(0)=5．