Question

【題目】如圖，四邊形 為菱形，四邊形 為平行四邊形，設 與 相交于點 ， ．

（1）證明：平面 平面 ；
（2）若 ，求三棱錐 的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：連接 ，

∵四邊形 為菱形，

∵ ，

在 和 中，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ；

（2）

解法一：連接 ，∵ 面 平面 ，∴ ，

在平行四邊形 中，易知 ，

∴ ，即 ，又因為 為平面 內的兩條相交直線，所以 平面 ，所以點 到平面 的距離為 ，

∵ ，

∴三棱錐 的體積為 .

解法二：∵ ，∴點 到平面 的距離為點 到平面 的距離的兩倍，所以 ，

作 ，∵平面 平面 平面 ，

∴ ，

∴三棱錐 的體積為 .

【解析】（1）做輔助線，連接EG，通過證明△EAD和△EAB全等，得到ED=EB，即EG⊥BD。四邊形ABCD為菱形，則有AC⊥BD，故BD⊥平面ACFE，進而可以證明兩個平面垂直。（2）連接FG，證明FG為點F到△BDE的距離，求出△BDE的面積，通過三棱錐公式即可求出三棱錐體積。