Question

（2009•朝陽區二模）已知A，B，C，D是平面內不共線的四點，若存在正實數λ₁，λ₂，使得

DA

+λ 1

DB

+λ2

DC

=0，則∠ADB，∠BDC，∠ADC（　　）

A．都是銳角

B．至多有兩個鈍角

C．恰有兩個鈍角

D．至少有兩個鈍角

Answer 1

分析：由條件可得 -

DA

=λ1

DB

+λ2

DC

，兩邊同時乘以

DA

可得，-

DA

2=λ1

DB

•

DA

+λ2

DC

•

DA

＜0，故∠ADB，∠ADC中至少有一個鈍角．同理可得∠ADB和∠BDC中至少有一個鈍角，∠BDC和∠ADC中至少有一個鈍角．從而得到∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有兩個鈍角．

解答：解：∵

DA

+ λ1

DB

+λ2

DC

=0，∴-

DA

=λ1

DB

+λ2

DC

，兩邊同時乘以 

DA

可得
-

DA

2=λ1

DB

•

DA

+λ2

DC

•

DA

＜0，又 正實數λ₁，λ₂ ，∴∠ADB，∠ADC中至少有一個鈍角．
同理可得∠ADB，∠BDC中至少有一個鈍角，∠BDC，∠ADC中至少有一個鈍角．
綜上可得，∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有兩個鈍角．
故選D．

點評：此題是個中檔題，主要考查數量積表示兩個向量的夾角，以及數量積的定義式，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．