Question

過拋物線y²=2x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據拋物線方程可求得焦點坐標和準線方程，設過F的直線方程，與拋物線方程聯立，整理后，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據韋達定理可求得x₁x₂的值，又根據拋物線定義可知，|AF|=x₁+

1

2

，|BF|=x₂+

1

2

代入

1

|AF|

+

1

|BF|

答案可得．

解答： 解：易知F坐標（

1

2

，0）準線方程為x=-

1

2

．
設過F點直線方程為y=k（x-

1

2

）
代入拋物線方程，得 k²（x-

1

2

）²=2x．
化簡后為：k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁+x₂=

k2+2

k2

，x₁x₂=

1

4

根據拋物線性質可知，|AF|=x₁+

1

2

，|BF|=x₂+

1

2

∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

x1+x2+1

(x1+ 1 2 )(x2+ 1 2 )

=2
故答案為：2．

點評：本題主要考查拋物線的應用和拋物線定義．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用拋物線的定義來解決．