Question

設集合函數y=ln（-x²-2x+8）的定義域為A，集合B為函數y=x+

1

x+1

（x＞-1）的值域，集合C為不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆?_RA，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過對數函數的定義域求出集合A，函數的值域求出集合B，然后求解A與B的交集．
（2）求出A的補集，利用C⊆?_RA，通過a的范圍，討論不等式的解集，求出a的范圍即可．

解答：解：（1）∵-x²-2x+8＞0，
∴解得A=（-4，2）．
∵y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1，∵x＞-1，∴x+1+

1

x+1

-1≥1．
∴B=[1，+∞）；
所以A∩B=[1，2）；
（2）∵C_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），C⊆C_RA，
若a＜0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]∪[-

1

a

，+∞），故定有-

1

a

≥2得0＞a≥-

1

2

．
若a＞0，則不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是∅，否則不滿足題意．
若a=0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]，滿足題意，所以a=0成立．
∴a的范圍為0≥a≥-

1

2

．

點評：本題主要考查了集合的交并補混合運算，較為簡單，關鍵是將各集合的元素計算出來．考查分類討論思想．