Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.

Answer 1

外接球體積為×OA³=··=

 由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1


∴折疊后得到一個正四面體.                             2分
方法一 作AF⊥平面DEC，垂足為F，F即為△DEC的中心.
取EC的中點G，連接DG、AG，
過球心O作OH⊥平面AEC.
則垂足H為△AEC的中心.                                4分
∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.
∵AG=，AF==，                     6分
在△AFG和△AHO中，根據三角形相似可知，
AH=.∴OA===.                 10分
∴外接球體積為×OA³=··=.        14分
方法二 如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體
的外接球就是正方體的外接球.                          6分
∵正四面體的棱長為1，
∴正方體的棱長為，∴外接球直徑2R=·，           10分
∴R=，∴體積為·=.                   12分
∴該三棱錐外接球的體積為.                        14分