Question

某校從高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數）分成六段
[40，50），[50，60），…[90，100]，其頻率分布直方圖如圖所示：
（Ⅰ）求第三小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計這次考試的平均分；
（Ⅲ） 假設在[90，100]段的學生的成績都不相同，且都在94分以上，現用簡單隨機抽樣方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任取2個數，求這2個數恰好是兩個學生的成績的概率．

Answer 1

分析：（I）由已知中頻率直方圖，我們根據各組的頻率和為1，求出殘缺組的頻率，乘以組距后，即可得到該組的矩形高度，進而補充圖形；
（II）累加各組組中值與頻率的乘積，即可估計這次考試的平均分；
（Ⅲ） 用列舉法我們可以得到從95，96，97，98，99，100這6個數中任取2個數的基本事件數，如果這2數恰好是兩個學生的成績，則這2學生在[99，100]段，而[99，100]的人數是3人，我們可以列舉出滿足條件的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）第三小組的頻率：
1-（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.2…．（2分）
頻率分布直方圖如圖所示：
…．（4分）

（Ⅱ）利用組中值估算抽樣學生的平均分：

.

x

=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
估計這次考試的平均分是72分…．（9分）
（ⅡI）從95，96，97，98，99，100中抽取2個數全部可能的基本結果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100），
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100）
（98，99），（98，100）
（99，100）共15個基本結果．…．（11分）
如果這2數恰好是兩個學生的成績，則這2學生在[99，100]段，而[99，100]的人數是3人，不妨設這3人的成績是95，96，97．
則事件A：“2個數恰好是兩個學生的成績”包括的基本結果有：（95，96），（95，97），（96，97），．
共有3個基本結果．…．（13分）
所以所求的概率為P（A）=

3

15

=

1

5

．…．（14分）

點評：本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本的數學特征估計總體的數字特征，列舉法計算基本事件及事件發生的概率，其中（I）的關鍵是據各組的頻率和為1，求出殘缺組的頻率，（II）的關鍵是掌握由頻率分布直方圖求平均數的方法，（III）的關鍵是確定基本事件總個數及滿足條件的基本事件總數．