Question

（本大題滿分14分）
已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，其漸近線方程是，雙曲線過點
(1)求雙曲線方程
(2)動直線經過的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問:是否存在直線,使G平分線段MN，證明你的結論

Answer 1

(1)所求雙曲線方程為="1" ；
(2)所求直線不存在。

本試題主要是考查了雙曲線方程的求解，已知直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。
（1）利用已知中的漸近線方程是，雙曲線過點
那么設出雙曲線的標準方程，然后代入點和a,b的關系得到求解。
（2）假設存在直線，使G(2，2)平分線段MN，那么利用對稱性，分別設出點的坐標，那么聯立方程組，可知斜率，得到直線的方程，從而驗證是否存在。
(1)如圖，設雙曲線方程為=1 …………1分

由已知得………………………………………3分
解得 …………………………………………………5分
所以所求雙曲線方程為="1" ……………………6分
(2)P、A₁、A₂的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐標為(2，2）…………………………………………………………8分
假設存在直線，使G(2，2)平分線段MN，
設M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂) 則有
，∴k_l=……………………10分
∴l的方程為y=(x－2)+2,12分
由,消去y,整理得x²－4x+28="0"
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線不存在…………………………………………14分