Question

已知數列{a_n}的前項和為s_n，且s_n+1=4a_n+2（n∈N⁺），a₁=1，．
（1）設b_n=a_n+1-2a_n，求b₁并證明數列{b_n}為等比數列；
（2）設c_n=

an

2n

，求證{c_n}是等差數列．

Answer 1

分析：（1）利用數列的遞推，分別表示出s_n+1和s_n+2，兩式相減，整理可得a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，進而把b_n代入求得

bn+1

bn

=2推斷出{b_n}為首項為3，公比為2的等比數列．
（2）通過（1）利用等比數列的通項公式求得b_n，然后利用b_n=a_n+1-2a_n，整理出cn+1-cn=

3

4

判斷出數列{c_n}是等差數列．

解答：解：（1）∵a₁=1，s₂=4a₁+2，得a₂=s₂-a₁=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
由s_n+1=4a_n+2，得s_n+2=4a_n+1+2，
兩式相減得s_n+2-s_n+1=4（a_n+1-a_n），
即a_n+2=4（a_n+1-a_n），亦即a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n
∴

bn+1

bn

=2，對n∈N^*恒成立，∴{b_n}為首項為3，公比為2的等比數列
（2）由（1）得b_n=3•2^n-1，∵b_n=a_n+1-2a_n
∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，即cn+1-cn=

3

4

，又c₁=

1

2

∴{c_n}為首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列

點評：本題主要考查了數列的遞推式，等比數列和等差數列的性質．考查了基礎知識的綜合運用．