Question

【題目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a=1時，證明f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，

得f′（x）=a（1﹣ ）+

= = = （x＞0）．

若a≤0，則ax2﹣2＜0恒成立，

∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

當a＞0，若0＜a＜2，當x∈（0，1）和（ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（1， ）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數；

若a＞2，當x∈（0， ）和（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（ ，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數

（2）

解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．

∵ex＞1+x，

∴x＞ln（1+x），

∴ex﹣1＞x，則x﹣1＞lnx，

∴F（x）＞ = ．

令φ（x）= ，則φ′（x）= = （x∈[1，2]）．

∴φ（x）在[1，2]上為減函數，則φ（x） ，

∴F（x）＞ 恒成立．

即f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（1）求出原函數的導函數，然后對a分類分析導函數的符號，由導函數的符號確定原函數的單調性；
（2）構造函數F（x）=f（x）﹣f′（x），求導后利用不等式x﹣1＞lnx放縮，得到F（x）＞ = ．令φ（x）= ，利用導數可得φ（x）在[1，2]上為減函數，得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立．
本題考查利用導數加以函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，是壓軸題．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．