Question

【題目】已知橢圓 的離心率 ，過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點的距離為 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，

依題意可得： ，

解得：a2=3，b=1，

∴橢圓的方程為

（2）解：假設存在這樣的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，

設C（x1，y1），D（x2，y2），

則

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD為直徑的圓過點E（﹣1，0），

當且僅當CE⊥DE時，

則y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③

將②代入③整理得k= ，

經驗證k= 使得①成立綜上可知，存在k= 使得以CD為直徑的圓過點E

【解析】（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得： ，由此能求出橢圓的方程．（2）假設存在這樣的值． ，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．