Question

【題目】設集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求實數a的值；

（2）若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a的值為－1或－3；

（2）a的取值范圍是a≤－3.

【解析】

（1）根據條件A∩B＝{2}，得到，代入方程，求得的值，分類討論即可求解；

（2）由A∪B＝A，轉化為，然后分類討論，建立關系式，即可求解實數的取值范圍.

解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

故集合A＝{1,2}．

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，

得a2＋4a＋3＝0a＝－1或a＝－3.

當a＝－1時，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，滿足條件；

當a＝－3時，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，滿足條件．

綜上，a的值為－1或－3.

(2)對于集合B，

Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．

∵A∪B＝A，∴BA.

①當Δ<0，即a<－3時，B＝，滿足條件；

②當Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}，滿足條件；

③當Δ>0，即a>－3時，B＝A＝{1,2}才能滿足條件，

則由根與系數的關系得矛盾．

綜上，a的取值范圍是{a|a≤－3}．