Question

【題目】已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切．

(Ⅰ)求圓C1的標準方程；

(Ⅱ)設點A為圓上一動點，AN垂直于x軸于點N，若動點Q滿足

(其中m為非零常數)，試求動點Q的軌跡方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的結論下，當m＝時，得到動點Q的軌跡為曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B，D兩點，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 圓C1的方程為x2＋y2＝4;(Ⅱ) 點Q的軌跡方程為;(Ⅲ).

【解析】分析：（Ⅰ）由題意首先求得圓的半徑為r＝2，結合圓心坐標可得圓C1的方程為x2＋y2＝4.

（Ⅱ）設動點Q(x，y)，A(x0，y0)，由題意可得，則動點Q的軌跡方程為.

（Ⅲ）由題意結合(Ⅱ)的結論可知曲線C的方程為,聯立直線方程與橢圓方程可得7x2－8bx＋4b2－12＝0.結合韋達定理和弦長公式可得面積函數為：，則△OBD面積的最大值為 .

詳解：（Ⅰ）設圓的半徑為r，圓心到直線l1的距離為d，

則d＝＝2.

因為r＝d＝2，圓心為坐標原點O，

所以圓C1的方程為x2＋y2＝4.

（Ⅱ）設動點Q(x，y)，A(x0，y0)，

∵AN⊥x軸于點N，∴N(x0,0)，

由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，

解得即

將點A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，

得動點Q的軌跡方程為＋＝1.

（Ⅲ）當m＝時，曲線C的方程為＋＝1，

設直線l的方程為y＝－x＋b，直線l與橢圓＋＝1交點B(x1，y1)，D(x2，y2)，

聯立方程得7x2－8bx＋4b2－12＝0.

因為Δ＝48(7－b2)>0，

解得b2<7，且x1＋x2＝，x1x2＝.

又因為點O到直線l的距離d1＝，

|BD|＝·＝.

所以S△OBD＝··

＝≤，

當且僅當b2＝7－b2，

即b2＝<7時取到最大值．

所以△OBD面積的最大值為 .