Question

 若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足和，則稱直線為和的“隔離直線”．

已知，（其中為自然對數的底數）．

(1) 判斷函數的零點個數并證明你的結論；

(2) 函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 (1) 函數只有一個零點。

證明， ． 

當時，．當時，，此時函數遞減；

 當時，，此時函數遞增；∴當時，取極小值，其極小值為．

所以函數只有一個零點。

(2)解法一：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，

因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當時恒成立

， 由，得．

下面證明當時恒成立．令，

則， 當時，．

當時，，此時函數遞增；當時，，此時函數遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(1)可知當時， (當且當時取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，

使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．