Question

某醫藥研究所開發一種新藥，在試驗藥效時發現：如果成人按規定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間x(小時)之間滿足y＝其對應曲線(如圖所示)過點.
 
(1)試求藥量峰值(y的最大值)與達峰時間(y取最大值時對應的x值)；
(2)如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規定劑量服用該藥后一次能維持多長的有效時間(精確到0.01小時)?

Answer 1

（1）y取最大值時，對應的x值為1.（2）3.85小時

(1)由曲線過點，可得，故a＝8.
當0<x<1時，y＝＝4，
當x≥1時，設2^x－1＝t，可知t≥1，
y＝≤＝4(當且僅當t＝1，即x＝1時，等號成立)．
綜上可知y_max＝4，且當y取最大值時，對應的x值為1.
所以藥量峰值為4微克，達峰時間為1小時．
(2)當0<x<1時，由＝1，可得x²－8x＋1＝0，
解得x＝4±，又4＋>1，故x＝4－.
當x≥1時，設2^x－1＝t，則t≥1，＝1，可得＝1，解得t＝4±，
又t≥1，故t＝4＋，所以2^x－1＝4＋，可得x＝log₂(4＋)＋1.
由圖像知當y≥1時，對應的x的取值范圍是[4－，log₂(4＋)＋1]，
log₂(4＋)＋1－(4－)≈3.85，
所以成人按規定劑量服用該藥后一次能維持大約3.85小時的有效時間．