Question

某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設(shè)各部門選擇每個景區(qū)是等可能的．
（Ⅰ）求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；
（Ⅱ）求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為3⁴．從4個部門中任選2個作為1組，、另外2個部門各作為1組，共3組，共有C₄²種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法，
（2）先從3個景區(qū)任意選定2個，共有C₃²種選法，再讓4個部門來選擇這2個景區(qū)，分兩種情況：①從4個部門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區(qū)，②從4個部門中任選2個部門到1個景區(qū)，另外2個部門在另1個景區(qū)．列出結(jié)果．

解答：解：某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為3⁴．
由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．
（I）從4個部門中任選2個作為1組，
另外2個部門各作為1組，共3組，共有C₄²=6種分法，
每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法，
∴3個景區(qū)都有部門選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為C₄²•3!
記“3個景區(qū)都有部門選擇”為事件A₁，
∴事件A₁的概率為
P（A₁）=

C 2 4 •3!

34

=

4

9

．
（II）先從3個景區(qū)任意選定2個，共有C₃²=3種選法，
再讓4個部門來選擇這2個景區(qū)，分兩種情況：
第一種情況，從4個部門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區(qū)，共有C₄¹•2!種不同選法．
第二種情況，從4個部門中任選2個部門到1個景區(qū)，另外2個部門在另1個景區(qū)，共有C₄²種不同選法，
∴恰有2個景區(qū)有部門選擇可能的結(jié)果為3（C₄¹•2!+C₄²）．
∴P（A₂）=

3( C 2 4 •2!+ C 2 4 )

34

=

14

27

．

點評：本題也可以這樣解：分別記“恰有2個景區(qū)有部門選擇”和“4個部門都選擇同一個景區(qū)”為事件A₂和A₃，則事件A₃的概率為P（A₃）=

3

34

=

1

27

，事件A₂的概率為P（A₂）=1-P（A₁）-P（A₃）=1-

4

9

-

1

27

=

14

27

．