Question

如圖，已知點，且的內切圓方程為.
（1）  求經過三點的橢圓標準方程；
（2）  過橢圓上的點作圓的切線，求切線長最短時的點的坐標和切線長。

Answer 1

,

解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，------------------1分
依題意知直線AB的斜率存在，故設直線AB：y=k（x+4）        ------------------2分
因圓的圓心為（2，0），半徑，又因為直線AB與圓相切
所以，圓心為（2，0）到直線AB的距離為------------------3分
解得（為直線AC的斜率）
所以直線AB的方程為，------------------4分
又因為AB=AC，點A(-4,0)在x軸上，所以B點橫坐標為，
把代入直線AB的方程解得，------------------5分
把A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得m=16，n=1----------6分
所以橢圓的標準方程為.------------------7分
(Ⅱ)設點M，則圓心（2，0）與點M的距離為 -8分
切線長，，--10分
當時，，                ------------------12分
此時，從而點的坐標為          ------------------14分
解法二：(Ⅰ)因為AB=AC，點A(-4,0)在x軸上，且的內切圓方程為，
所以B點橫坐標為，-----------------1分
如圖，由三角形內切圓的性質知∽
∴即，從而------------------3分
當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，="1" ，
∴橢圓的標準方程為--5分
當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=與矛盾----------6分
綜上所述，所求橢圓的標準方程為.------------------7分
(Ⅱ) 依題意設點M，則圓心（2，0）與點M的距離為  ------8分
則切線長，而，---------10分
當時，，-----12分
此時，從而點的坐標為 -----14分