Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點，AC與BD相交于點E，GC，GD是圓O的切線，點F在DG的延長線上，且。求證：
（Ⅰ）D、E、C、F四點共圓；       （Ⅱ）

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）依據已知條件尋求出∠DGC、∠F、∠CAB＋∠DBA的關系，借助對角互補證明D，E，C，F四點共圓；（Ⅱ）結合（Ⅰ）的結果進一步得到點G是經過D，E，C，F四點的圓的圓心，所以∠GCE＝∠GEC，延長GE，繼而證明∠AEH＋∠CAB＝90°即可.
試題解析：（Ⅰ）如圖，連結OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，
設∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，
則∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．
所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．
因為∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．
又因為∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，
所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四點共圓．

（Ⅱ）延長GE交AB于H．
因為GD＝GC＝GF，所以點G是經過D，E，C，F四點的圓的圓心．
所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC．   
又因為∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，
所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，
所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB．
考點：1、四點共圓；2、圓的切線的性質.