Question

已知函數是定義在上的奇函數,當時, (其中e是自然界對數的底,)

（Ⅰ）設，求證：當時，；

（Ⅱ）是否存在實數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見解析;（Ⅱ）存在，

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據已知條件和奇函數的定義與性質，先求出函數在整個定義域的解析式，再由和的關系列不等式，由函數的單調性和導數的關系解不等式即可；（Ⅱ）首先假設這樣的存在，然后根據函數的單調性和導數的關系判斷函數的單調性找到最小值，注意解題過程中要對參數進行討論，不能漏解.

試題解析：（Ⅰ）設，則，所以,

又因為是定義在上的奇函數，所以, 

故函數的解析式為  ,            2分

證明：當且時，，設,

因為，所以當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增，所以,

  又因為，所以當時，，此時單調遞減，所以,

所以當時，即 ;              4分

（Ⅱ）解：假設存在實數，使得當時，有最小值是3，則                    ..5分

（ⅰ）當，時，．在區間上單調遞增，，不滿足最小值是3,            6分

（ⅱ）當，時，，在區間上單調遞增，，也不滿足最小值是3,             7分

（ⅲ）當，由于，則，故函數 是上的增函數．

所以，解得（舍去）.       8分

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數是減函數；

當時，，此時函數是增函數．

所以，解得.

綜上可知，存在實數，使得當時，有最小值3.             10分

考點：函數的單調性與導數的關系，利用導數求函數的極值.