Question

已知函數f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N*。
（1）若f（x）=m+x²+x³。
①求以曲線y= f（x）上的點P（1，f（1））為切點的切線的斜率；
②若函數f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且點（x₁，f（x₁））在第二象限，點（x₂，f（x₂））位于y軸負半軸上，求m的取值范圍。
（2）當a_n=時，設函數f（x）的導函數為f'（x），令T_n=，證明：T_n≤f'（1）-1。

Answer 1

解：（1）由得
①曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線的斜率k=f'（1）=2；
②f'（x）=x+x²=x（x+1）
由f'（x）<0，得-1＜x＜0，
由f'（x）>0得x<-1或x>0
由題意，
即
解得
故m的取值范圍為。
（2）∵

∴


∴

∴
要證T_n≤f'（1） -1，其中n∈N*
即證
當n=1時，T₁=1，f'（1）-1=1，
此時，T_n=f'（1）-1成立，
當n=2時，
不等式T_n＜f'（1）-1成立
當n≥3時，
而

∵
∴
∴當n≥3時，
即
∴當n≥3時，不等式也成立，
綜上所述，對任意的n∈N*，不等式T_n≤f'（1）-1成立。