Question

已知函數f（x）=

m

•

n

，其中

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于

π

2

．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，b+c=3，當ω最大時，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積的坐標表示及二倍角公式對函數整理可得，f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)，根據周期公式可得T=

2π

2ω

=

π

ω

，根據正弦函數的性質相鄰兩對稱軸間的距離即為

1

2

T，從而有

T

2

≥

π

2

代入可求ω的取值范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值為1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)由f（A）=1可得，sin(2A+

π

6

)=

1

2

結合已知可得2A+

π

6

=

5

6

π，A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

可得b²+c²-bc=3，又b+c=3聯立方程可求b，c，代入面積公式可求
也可用配方法

(b+c)2-3bc=3 b+c=3

求得bc=2，直接代入面積公式可求

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=cos2ωx-sin2ωx+2

3

cosωx•sinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)
∵ω＞0
∴函數f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，由題意可知

T

2

≥

π

2

，即

π

2ω

≥

π

2

，
解得0＜ω≤1，即ω的取值范圍是{ω|0＜ω≤1}
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值為1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵f（A）=1
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

π
∴2A+

π

6

=

5

6

π
∴A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴b²+c²-bc=3，又b+c=3
聯立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

（或用配方法∵

(b+c)2-3bc=3 b+c=3

∴bc=2
∴

S

△ABC

=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：本題綜合考查了向量的數量積的坐標表示，由函數的部分圖象的性質求解函數的解析式，正弦函數的周期公式，由三角函數值求解角，余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合，綜合的知識比較多，解法靈活，要求考生熟練掌握基礎知識并能靈活運用知識進行解題．