Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PC=4

2

．M是PC的中點(diǎn)，在DM上有點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AP∥GH．

Answer 1

分析：（1）四棱錐P-ABCD以四邊形ABCD為底，以PA為高，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明PA∥平面BMD，可得結(jié)論．

解答：（1）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，而AC=2

2

，PC=4

2

，∴PA=

PC2-AC2

=2

6

∴三棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

•PA•SABCD=

1

3

×2

6

×4=

8 6

3

；
（2）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO．
∵ABCD為正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，
又M為PC中點(diǎn)，∴OM是△CAP的中位線，∴AP∥OM，
而AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴PA∥平面BMD．
又∵平面PAHG∩平面BMD=GH，
∴PA∥GH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐體積的計(jì)算，考查線面平行的判定與性質(zhì)，掌握線面平行的判定定理是關(guān)鍵．