Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，側面PBC⊥底面ABCD，點F在線段AP上，且滿足．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）當λ取何值時，直線DF與平面ABCD所成角為30°？

Answer 1

（1）證明：如圖，∵△PBC是等邊三角形，O是BC中點，∴PO⊥BC．
由側面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）
∴
∴
∴
∴PA⊥BD；
（2）解：∵，
∴
∵
∴=
∵平面ABCD的一個法向量=（0，0，1），直線DF與平面ABCD所成角為30°
∴sin30°=||
∴4λ²-16λ+7=0
∴，（舍去）
∴λ=時，直線DF與平面ABCD所成角為30°．
分析：（1）先證明PO⊥平面ABCD，再建立空間直角坐標系，利用向量的數量積為0，可證得PA⊥BD；
（2）利用平面ABCD的一個法向量=（0，0，1），直線DF與平面ABCD所成角為30°，根據向量的夾角公式，即可求得結論．
點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查李建勇空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．