Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，側面PBC⊥底面ABCD，點F在線段AP上，且滿足

PF

=λ

PA

．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）當λ取何值時，直線DF與平面ABCD所成角為30°？

Answer 1

分析：（1）先證明PO⊥平面ABCD，再建立空間直角坐標系，利用向量的數量積為0，可證得PA⊥BD；
（2）利用平面ABCD的一個法向量

n

=（0，0，1），直線DF與平面ABCD所成角為30°，根據向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：（1）證明：如圖，∵△PBC是等邊三角形，O是BC中點，∴PO⊥BC．
由側面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，

3

）
∴

BD

=(-2，-1，0)，

PA

=(1，-2，-

3

)
∴

BD

•

PA

=-2+2+0=0
∴

BD

⊥

PA

∴PA⊥BD；
（2）解：∵

PF

=λ

PA

，

PA

=(1，-2，-

3

)
∴

PF

=(λ，-2λ，-

3

λ)
∵

DP

=(1，1，

3

)
∴

DF

=

DP

+

PF

=(1+λ，1-2λ，

3

-

3

λ)
∵平面ABCD的一個法向量

n

=（0，0，1），直線DF與平面ABCD所成角為30°
∴sin30°=|

DF • n

| DF || n |

|
∴4λ²-16λ+7=0
∴λ1=

1

2

，λ2=

7

2

（舍去）
∴λ=

1

2

時，直線DF與平面ABCD所成角為30°．

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查李建勇空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．