Question

已知F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）設動直線y=kx+m與曲線C相切于點M，且與直線x=-1相交于點N，試問：在x軸上是否存在一個定點E，使得以MN為直徑的圓恒過此定點E？若存在，求出定點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出P點坐標，求出向量

QP

，

QF

，

FP

，

FQ

，代入坐標后直接得拋物線方程；
（Ⅱ）聯立直線方程和拋物線方程，由判別式等于0得到m與k的關系，從而把M和N的坐標用含有m的代數式表示，設出E點坐標，由ME⊥NE代入坐標整理即可得到E點坐標．

解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y），則Q（-1，y），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得y²=4x；
（Ⅱ）由

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由△=0，得km=1，從而有M（m²，2m），N(-1，-

1

m

+m)，
設點E（x，0），使得ME⊥NE，則(x-m2)(x+1)+(-2m)(

1

m

-m)=0．
（1-x）m²+x²+x-2=0，得x=1．
所以存在一個定點E（1，0）符合題意．

點評：本小題主要考查相關點法求軌跡方程和直線與拋物線的位置關系的判斷和應用，解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，一般離不開聯立方程組，所以要仔細運算，該題是中檔題．