Question

（08年豐臺(tái)區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一理）（13分）

已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，

E、F分別是AC和BC邊上的點(diǎn)，且滿足，現(xiàn)將△ABC

沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.

(Ⅰ) 試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

(Ⅱ) 求二面角B-AC-D的大小；                                 

(Ⅲ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.

 

Answer 1

解析：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，

∵ E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，且滿足，

∴ AB∥EF.                                              

∵ AB平面DEF，EF平面DEF，∴ AB∥平面DEF. …………… 3分    

(Ⅱ)過D點(diǎn)作DG⊥AC于G，連結(jié)BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ……………………………… 5分

在ADC中，AD=a,  DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小為.………………………………… 8分

 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其補(bǔ)角)是異面直線AB與DE所成的角.… 9分

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

     

  ………………… 11分

∴ .

∴ .  解得 .…………………… 13分