Question

【題目】如圖，設橢圓中心在原點，焦點在軸上，為橢圓長軸的兩個端點，為橢圓的右焦點.已知橢圓的離心率為，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上位于軸上方的一個動點，直線，分別與直線相交于點，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）利用離心率、和橢圓的關系可構造方程組求得的值，進而得到橢圓方程；

（2）設，代入橢圓方程可化簡整理得到，由此可假設兩直線方程，求得坐標，進而得到，利用基本不等式可求得最小值.

（1）設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.

，則，即，，則.

，，即，.

橢圓的標準方程是.

（2）由題意得：點，點，

設點，則，即.

，即，.

設直線的方程為，則直線的方程為.

分別聯立得：點，點.

（當且僅當，即時取等號），

的最小值為.