Question

設函數f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求當x∈[0，

4

3

]時y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的正弦公式及二倍角公式及asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數；再利用三角函數的周期公式求出周期．
（2）在y=g（x）上任取一點，據對稱行求出其對稱點，利用對稱點在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整體角的范圍，據三角函數的有界性求出最值．

解答：解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)
故f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8
（2）在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），它關于x=1的對稱點（2-x，g（x））．
由題設條件，點（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
從而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos(

π

4

x+

π

3

)
當0≤x≤

4

3

時，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

時，
因此y=g（x）在區間[0，

4

3

]上的最大值為gmax=

3

cos

π

3

=

3

2

點評：本題考查常利用三角函數的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數、利用軸對稱性求函數的解析式、
利用整體角處理的思想求出最值．