Question

已知各項均為正整數的數列{a_n}滿足a₁＜4，a_n+1=2a_n+1，且＜對任意n∈N^*恒成立.數列{a_n}{b_n}滿足等式2(λⁿ+b_n)=2nλⁿ+a_n+1(λ＞0).

(1)求證:數列{a_n+1}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；

(2)求數列{b_n}的前n項和S_n；

(3)證明存在k∈N^*，使得≤對任意n∈N^*均成立.

Answer 1

解:(1)證明:由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2(a_n+1),

∵a₁＞0,∴a₁+1＞1.∴{a_n+1}是等比數列.

∵＜,∴＜，即＜·對任意n∈N^*恒成立.

∴＜4.∴a₁≥3.

∵a₁＜4，a₁∈N^*,∴a₁=3.∴a_n+1=4·2^n-1.∴a_n=2ⁿ⁺¹-1.

(2)由2(λⁿ+b_n)=2nλⁿ+a_n+1(λ＞0)得b_n=(n-1)λⁿ+2ⁿ,

設數列{(n-1)λⁿ}的前n項的和為T_n,∴T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+(n-1)λⁿ,

λT_n=λ³+2λ⁴+…+(n-2)λⁿ+(n-1)λⁿ⁺¹,(1-λ)T_n=λ²+λ³+λ⁴+…+λⁿ-(n-1)λⁿ⁺¹,

當λ=1時，T_n=1+2+…+(n-1)=,

當λ≠1時，T_n=,

∴S_n=

(3)存在k=1滿足題意,

證明:≤2n·λⁿ⁺¹≤(n-1)λⁿ⁺²+4(n-1)λⁿ+2ⁿλ².(*)

當n≥2時，∵(n-1)λⁿ⁺²+4(n-1)λⁿ+2ⁿλ²=(n-1)λⁿ(λ²+4)+2ⁿλ²≥(n-1)λⁿ·4λ+2ⁿλ²＞(4n-4)λⁿ⁺¹≥2nλⁿ⁺¹,又n=1時，(*)式成立.∴對任意n∈N^*，(*)式成立.