Question

已知各項均為正整數的數列{a_n}滿足a₁＜4，a_n+1=2a_n+1，且

n

i=1

1

1+ai

＜

1

2

對任意n∈N^﹡恒成立．數列{a_n}，{b_n}滿足等式2（λⁿ+b_n）=2nλⁿ+a_n+1（λ＞0）．
（1）求證數列{ a_n+l}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）證明存在k∈N^﹡，使得

bn+1

bn

≤

bk+1

bk

對任意n∈N^﹡均成立．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1得：a_n+1+1=2（a_n+1），由a₁＞0，a₁+1＞1，知{a_n+1}是等比數列，由

n

i=1

1

1+ai

＜

1

2

，知

1 1+a1 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

＜

1

2

，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由2（λⁿ+b_n）=2nλⁿ+a_n+1（λ＞0）得：b_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．設數列{（n-1）λⁿ}的前n項的和為T_n，T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+（n-1）λⁿλT_n=λ³+2λ⁴+…+（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹（1-λ）T_n=λ²+λ³+λ⁴+…+λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹，由此能求出數列{b_n}的前n項和．
（3）存在k=1滿足題意

nλn+1+2n+1

(n-1)λn+2n

≤

λ2+22

2

?2n•λⁿ⁺¹≤（n-1）λⁿ⁺²+4（n-1）λⁿ+2ⁿλ²．由此能夠推導出存在k∈N^﹡，使得

bn+1

bn

≤

bk+1

bk

對任意n∈N^﹡均成立．

解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+1得：a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁＞0，
∴a₁+1＞1，
∴{a_n+1}是等比數列，首項為a₁+1，公比q=2．
∵

n

i=1

1

1+ai

＜

1

2

，
∴

1 1+a1 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

＜

1

2

，
即

1

1+a1

＜

1

4

•

1

1- 1 2n

對任意n∈N^*恒成立，
∴

1

1+a1

＜4，
∴a₁≥3．
∵a₁＜4，a₁∈N^*，
∴a₁=3．
∴等比數列{a_n+1}的首項為a₁+1=3+1=4，公比q=2．
∴a_n+1=4•2^n-1，即an=4•2n-1-1=2n+1-1．
即{a_n}的通項公式是an=2n+1-1，n≥1．
（2）由2（λⁿ+b_n）=2nλⁿ+a_n+1（λ＞0），
得：b_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ
設數列{（n-1）λⁿ}的前n項的和為T_n
∴T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+（n-1）λⁿλT_n
=λ³+2λ⁴+…+（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹（1-λ）T_n
=λ²+λ³+λ⁴+…+λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹
當λ=1時，Tn=1+2+…+(n-1)=

n(n-1)

2

當λ≠1時，Tn=

λ2-λn+1-(n-1)(1-λ)λn+1

(1-λ)2

，
∴Sn=

n(n-1) 2 +2n+1-2…(λ=1) λ2-λn+1-(n-1)(1-λ)λn+1 (1-λ)2 +2n-1…(λ≠1)

．
（3）存在k=1滿足題意

nλn+1+2n+1

(n-1)λn+2n

≤

λ2+22

2

?2n•λⁿ⁺¹
≤（n-1）λⁿ⁺²+4（n-1）λⁿ+2ⁿλ²（*）
當n≥2時，∵（n-1）λⁿ⁺²+4（n-1）λⁿ+2ⁿλ²
=（n-1）λⁿ（λ²+4）+2ⁿλ²
≥（n-1）λⁿ•4λ+2ⁿλ²＞（4n-4）λⁿ⁺¹
≥2nλⁿ⁺¹
又n=1時，（*）式成立∴對任意n∈N^*，（*）式成立．

點評：本題考查數列與不等式的綜合運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．