Question

【題目】已知點A（2sinx，﹣cosx）、B（ cosx，2cosx），記f（x）= ．
（1）若x0是函數(shù)y=f（x）﹣1的零點，求tanx0的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[ ， ]上的最值及對應的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= =（2sinx，﹣cosx）（ cosx，2cosx）=2 sinxcosx﹣2cos2x= sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣ ）﹣1，

若x0是函數(shù)y=f（x）﹣1的零點，

則f（x0）﹣1=2sin（2x0﹣ ）﹣1﹣1=0，即sin（2x0﹣ ）=1，

故2x0﹣ =2kπ+ ，則x0=kπ+ ，k∈Z，

則tanx0=tan（kπ+ ）=tan = ．

（2）解：當x∈[ ， ]時，2x﹣ ∈[ ， ]，

當2x﹣ = 或 時，即x= 或x= ，函數(shù)f（x）取得最小值，此時f（x）=2sin ﹣1=2× ﹣1=1﹣1=0，

當2x﹣ = 時，即x= ，函數(shù)f（x）取得最大值，此時f（x）=2sin ﹣1=2﹣1=1．

【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進行化簡，解方程求出x0的值即可．（2）求出2x﹣ 的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可．