Question

【題目】已知數集X={x1，x2，…，xn}（其中xi>0，i=1，2，…，n，n≥3），若對任意的xk∈X（k=1，2，…，n），都存在xi，xj∈X（xi≠xj），使得下列三組向量中恰有一組共線：

①向量（xi，xk）與向量（xk，xj）；②向量（xi，xj）與向量（xj，xk）；③向量（xk，xi）與向量（xi，xj），則稱X具有性質P。例如{1，2，4}具有性質P。

（1）若{1，3，x）具有性質P，則x的取值為________；

（2）若數集{1，3，x1，x2}具有性質P，則x1+x2的最大值與最小值之積為________。

Answer 1

【答案】 或或9

【解析】(1)由題意(1,3)與(3,x);(1,x)與(x,3);(3,1)與(1,x)中恰有一組共線,當(1,3)與(3,x)共線時,可得x=9,此時另外兩組不共線,符合題意;當(1,x)與(x,3)共線時,可得x=,此時另外兩組不共線,符合題意;當(3,1)與(1,x)共線時,可得,此時另外兩組不共線,符合題意;故x的取值為或或9,應填或或9;(2)由(1)可得, =或或9,當x=時,由數集{1,3, , }具有性質P,①若(1,3)與(3, );(1, )與(,3);(3,1)與(1, )中恰有一組共線,可得=9, ;②若(1, )與(,);(1, ,);(,1)與(1, )中恰有一組共線,可得=;③若(3, )與(,);(3, )與(,);(,3)與(3, )中恰有一組共線,可得=;同理當時, {1,3, , }具有性質P,可得;同理當時, ;則的最大值為90,最小值為,故的最大值與最小值之積為,故應填.