Question

【題目】已知圓和橢圓， 是橢圓的左焦點．

（Ⅰ）求橢圓的離心率和點的坐標；

（Ⅱ）點在橢圓上，過作軸的垂線，交圓于點（不重合），是過點的圓的切線．圓的圓心為點，半徑長為．試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的標準方程為，可得，所以橢圓的離心率，橢圓的左焦點的坐標為；（Ⅱ） 設，其中，則，可設，則，由點斜式可得直線的方程為，圓的圓心到直線的距離．利用兩點間距離公式求得，即 ，從而可得直線與圓相切．

試題解析：（Ⅰ）由題意，橢圓的標準方程為．

所以， ，從而．

因此， ．

故橢圓的離心率．

橢圓的左焦點的坐標為．

（Ⅱ）直線與圓相切．證明如下：

設，其中，則，

依題意可設，則．

直線的方程為，

整理為 ．

所以圓的圓心到直線的距離．

因為．

所以，

即 ，

所以 直線與圓相切．