Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心、F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以O為頂點、F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點，曲線C₁的離心率為

1

3

，若|AF1|=

7

2

，|AF2|=

5

2

．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線方程；
（Ⅱ）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為

1

3

，所以

c

a

=

1

3

，因為|AF1|=

7

2

|AF2|=

5

2

，所以可求出a，再根據

c

a

=

1

3

，求出C，就可得到b的值，求出橢圓方程．也就可得F₂的坐標，再根據曲線C₂是以O為頂點、F₂為焦點的拋物線，求出拋物線方程．
（Ⅱ）先設出B，E，C，D四點坐標，以及過F₂作的與x軸不垂直的直線方程，分別代入橢圓方程和拋物線方程，求y₁+y_2，
y₁y₂，y₃+y₄，y₃y₄，再代入

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

，化簡即可．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6，得a=3
所以橢圓方程為

x2

9

+

y2

8

=1，拋物線方程為y²=4x．    
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線y=k（x-1），代入

x2

9

+

y2

8

=1得：8(

y

k

+1)2+9y2-72=0，即（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
則=-

16k

8+9k2

，y₁y₂=-

64k2

8+9k2

同理，y=k（x-1），代入y²=4x得，ky^2-4y-4k=0
則y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=-4
∴

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|

|y3-y4|

1 2 |y1+y2|

1 2 |y3+y4|

=3

點評：本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，以及直線與圓錐曲線位置關系的判斷，做題時要細心．