Question

如圖已知四面體P-ABC中，AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2，且PB與平面ABC所成角是

π

4

，E是AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影到直線AB、AC的距離；
（2）求二面角P-EC-B的大小；
（3）求點(diǎn)B到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（1）首先可計(jì)算證得∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)O，則OP=BP•sin

π

4

=

2

，根據(jù)PA⊥AB，PC⊥BC，可知OA⊥AB，OC⊥BC，從而OA、OC表示點(diǎn)O到直線AB、AC的距離，故可解；
（2）取BC的中點(diǎn)F，連接OF交CE于點(diǎn)G，正方形ABCO中，可知∠PGF為所求二面角的平面角，故可求二面角的大小；
（3）設(shè)OB交CE于點(diǎn)R，則OR=2BR，所以點(diǎn)O到平面PCE的距離等于點(diǎn)B到平面PCE的距離的2倍，過(guò)點(diǎn)O作直線OH垂直PG且相交于點(diǎn)H，則OH⊥平面PCE，從而可求點(diǎn)B到平面PEC的距離．

解答：解：（1）由AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2
得到：∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°
設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)O，
則OP=BP•sin

π

4

=

2

，…（2分）
由PA⊥AB，PC⊥BC得到，OA⊥AB，OC⊥BC，
且OA=OC=1，
所以點(diǎn)O到直線AB、AC的距離都是等于1；
（2）取BC的中點(diǎn)F，連接OF交CE于點(diǎn)G，正方形ABCO中，可以證明到OF⊥CE，所以∠PGF為所求二面角的平面角．  …（6分）
∵CG=

OC•CF

OF

=

5

5

⇒OG=

2 5

5

，∴tan∠PGO=

OP

OG

=

2

2 5 5

=

10

2

，
所以所求二面角的大小是π-arctan

10

2

…（8分）
（3）設(shè)OB交CE于點(diǎn)R，則OR=2BR，所以點(diǎn)O到平面PCE的距離等于點(diǎn)B到平面PCE的距離的2倍，
過(guò)點(diǎn)O作直線OH垂直PG且相交于點(diǎn)H，則OH⊥平面PCE，OH=

OP•OG

PG

=

2 •2 2 5 5

2+ 4 5

=

2 7

7

，
所以點(diǎn)B到平面PEC的距離是

7

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以四面體為載體，考查點(diǎn)線距離，考查面面角，點(diǎn)面距離，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．